Функан в Матлаб

Решаем на заказ! Функан в Матлаб

Заказать работу
Узнать стоимость

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ / ПЛОХИЕ советы

 


Курсовая раота по функану. Расчеты с применением Матлаб.
Работы ЛЮБОЙ сложности в MATLAB, для заказа -- контакты в шапке сайта.

Содержание

1. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2) 

1.1. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2) рядом Фурье   3

1.2. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2)
ортогональными полиномами Лежандра   8

2. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t) 

2.1. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t) рядом Фурье   9

2.2. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t) 
ортогональными полиномами Лежандра 14

Список литературы 16


1. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2)

Данная функция монотонная, не имеющая разрывов в силу отсутствия у экспоненты нулевых значений. 

x(t) определена при всех значениях аргумента: - ∞<t<+∞. 


1.1. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2) рядом Фурье 

Примем за интервал разложения в ряд Фурье область  -1<t<+1. [1]

Тогда T=2, T/2=1 и функцию можно представить в виде: 

                              (1.1)

где коэффициенты разложения: [2], [3]

                                            (1.2)

T – период сигнала (функции); 

ωk=2πk/T – циклическая частота k-ой гармоники; 

Ak=(ak2 + bk2)1/2 – амплитуда k-ой гармоники; 

Вычислим по формулам (1.2) коэффициенты разложения. 

Свободный член: [4]

Коэффициент k-ой гармоники при косинусоиде: 

Данный интеграл не выражается через элементарные функции. 

Аналогично находим коэффициент k-ой гармоники при синусоиде: 

Данный интеграл не выражается через элементарные функции. 

Однако, значения данных коэффициентов можно получить численным интегрированием: 

k

1

2

3

4

ak

2.43·10-17

-8.67·10-18

0

1.73·10-17

bk

0.44075

-0.12094

0.078823

-0.05804


Из данной таблицы видно. что коэффициенты при косинусах с высокой точностью нулевые и в разложении участвуют только слагаемые синусоидальных гармоник. Таким образом, ряд Фурье (1.1) с порядком разложения kmax=n=4 для функции x(t)=t/exp(t2) принимает вид: 

.

График данного разложения в сравнении с графиком теоретической функции имеет вид: 

Здесь так же оценено (по узловым точкам) среднеквадратическое отклонение аппроксимированных значений от теоретических: δx=0.013253. 

Текст программы для расчёта данной аппроксимации: 

% Программа расчёта коэф-тов ряда Фурье 

% Функции x(t)=t/exp(t^2), пример а)

clear all; clc; close all;

% Диапазон разложения

tmax=1;

tmin=-1; 

T=tmax-tmin; % Период

T2=T/2; % Полупериод

kmax=51; % число узловых (расчётных) точек 

% Линейка значений t:

t=linspace(tmin,tmax,kmax);

% Рисуем теоретический график функции

x=t./exp(t.^2);

figure(1);

% Рисуем график в 1-м окне

plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

hold on;

% Выводим обозначения осей

xlabel('t, s'); ylabel('x(t), mkT');

% Масштабируем оси

axis([tmin tmax min(x) max(x)]);

% Название графика:

title('Furie Approximation for x(t)=t/exp(t^2)');

% Выводим координатную сетку

grid on;

pause(1);

hold off;

% Рисуем сложение гармоник Фурье

% Нулевой член находим, интегрируя методом трапеций:

a0=trapz(t,x)/T;

xf(1:kmax)=a0;

%deltaFc=deltaFc';

% Цикл расчёта Амплитуд гармоник F(k)

for k=1:4

    a(k)=trapz(t,x.*cos(pi*k*t/T2))/T2;

    b(k)=trapz(t,x.*sin(pi*k*t/T2))/T2;

    xf=xf+a(k)*cos(pi*k/T2*t)+b(k)*sin(pi*k/T2*t);

    plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

    hold on;

    % Рисуем 2-ой график

    plot(t,xf,'.r','LineWidth',2);

    % Масштабируем оси

    axis([tmin tmax min(xf) max(xf)]);

    % Расчёт среднеквадратического отклонения:

    dx=sqrt(sum((x-xf).^2))/kmax;

    % Выводим координатную сетку

    grid on;

    % Название графика:

    title(strcat('Waves Sum for k=',num2str(k),'; dx=',num2str(dx)));

    hold off;

    pause(0.5);

    %if dd<epsilon

    % Выходим из цикла расчёта гармоник

    % если достигнута требуемая точность

    %    break;

    %end;

end;

hold on;

plot(t,xf,'k-','LineWidth',3);

hold off;


1.2. Аппроксимация функции x(t) = t / exp(t2) ортогональными полиномами Лежандра 

Многочлены Лежандра – система многочленов, для которых условие ортогональности в чистом виде выполняется на отрезке [-1; 1]: 

(1.3)

В явном виде порождаются формулой Родрига: 

(1.4)

Либо, зная первые в этой системе многочленов: 

все последующие можно получить по рекуррентной формуле: 

(1.5)

Этот вариант для построения численного алгоритма наиболее приемлемый. 

Определив в явном виде полиномы до требуемого порядка разложения n

(1.6)

Можем вычислить коэффициенты: 

(1.6)

где ;

.

Откуда, (1.7)

или для данной функции примера 9а): 

(1.7а)

Результаты расчёта значений функции, аппроксимированных полиномами Лежандра до 4-го порядка включительно, представлены на графике ниже. Для сравнения приводится график точных теоретических значений функции, среднее квадратичное отклонение от которого по всем аппроксимированным значениям составляет δx=0.001729.

Текст программы для расчёта аппроксимации полиномами Лежандра: 

% Программа расчёта коэф-тов ряда по полиномам Лежандра 

% Функции x(t)=t/exp(t^2), пример а)

clear all; clc; close all;

% Диапазон разложения

tmax=1;

tmin=-1; 

T=tmax-tmin; % Период

T2=T/2; % Полупериод

kmax=51; % число узловых (расчётных) точек 

% Линейка значений t:

t=linspace(tmin,tmax,kmax);

% Рисуем теоретический график функции

x=t./exp(t.^2);

figure(1);

% Рисуем график в 1-м окне

plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

hold on;

% Выводим обозначения осей

xlabel('t, s'); ylabel('x(t), mkT');

% Масштабируем оси

axis([tmin tmax min(x) max(x)]);

% Название графика:

title('Legendre Approximation for x(t)=t/exp(t^2)');

% Выводим координатную сетку

grid on;

pause(1);

hold off;

% Рисуем сложение полиномов Лежандра: 

% Нулевой член находим, интегрируя методом трапеций:

Lg(1,1:1)=[1];

c(1)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(1,1:1)),t))*(2*0+1)/2;

xLg(1:kmax)=c(1)*polyval(fliplr(Lg(1,1:1)),t);

Lg(2,1:2)=[0 1];

c(2)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(2,1:2)),t))*(2*1+1)/2;

xLg(1:kmax)=xLg(1:kmax)+c(2)*polyval(fliplr(Lg(2,1:2)),t);

% Цикл расчёта Амплитуд гармоник F(k)

for k=2:4

    Lg(k+1,2:k+1)=(2*(k-1)+1)/k*Lg(k,1:k);

    Lg(k+1,1:k+1)=Lg(k+1,1:k+1)-(k-1)/k*Lg(k-1,1:k+1);

c(k+1)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(k+1,1:k+1)),t))*(2*k+1)/2;

    xLg=xLg+c(k+1)*polyval(fliplr(Lg(k+1,1:k+1)),t);

    plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

    hold on;

    % Рисуем 2-ой график

    plot(t,xLg,'.r','LineWidth',2);

    % Масштабируем оси

    axis([tmin tmax min(xLg) max(xLg)]);

    % Расчёт среднеквадратического отклонения:

    dx=sqrt(sum((x-xLg).^2))/kmax;

    % Выводим координатную сетку

    grid on;

    % Название графика:

title(strcat('Waves Sum for k=',num2str(k),'; dx=',num2str(dx)));

    hold off;

    pause(0.5);

end;

hold on;

plot(t,xLg,'k-','LineWidth',3);

hold off;


2. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t)

2.1. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t) рядом Фурье

Дана функция: (2.1)

Примем за интервал разложения в ряд Фурье область  -1<t<+1. [1]

Тогда период функции T=2, T/2=1 и функцию можно представить в виде (1.1), а коэффициенты разложения определяются по формулам (1.2).

Свободный член: 

Коэффициент k-ой гармоники при косинусоиде: 

где 

- интеграл в первом слагаемом: 

;

- интеграл во втором слагаемом: 

;

Подставляя эти интегралы в выражение для ak получаем: 

.

Аналогично находим коэффициент k-ой гармоники при синусоиде: 

где 

- интеграл в первом слагаемом: 

;

- интеграл во втором слагаемом: 

.

Подставляя эти интегралы в выражение для bk получаем: 

.

Таким образом, разложение в ряд Фурье (1.1) принимает вид: 

 

k

1

2

3

4

ak

0.04

0.04

0.04

0.04

bk

0.63578

0.31663

0.20969

0.15579

теор. bk

0.63662

0.31831

0.21221

0.15916


Из данной таблицы видно, что коэффициенты при косинусах с некоторой погрешностью нулевые и в разложении участвуют только слагаемые синусоидальных гармоник. Таким образом, ряд Фурье (1.1) с порядком разложения kmax=n=20 для функции (2.1) можно представить графиком в сравнении с графиком теоретической функции.

Здесь так же оценено (по узловым точкам) среднеквадратическое отклонение аппроксимированных значений от теоретических: δx=0.0084402. 

Текст программы для расчёта данной аппроксимации: 

% Программа расчёта коэф-тов ряда Фурье 

% Функции x(t)=-1-t,t<0; x(t)=1-t пример б)

clear all; clc; close all;

% Диапазон разложения

tmax=1;

tmin=-1; 

T=tmax-tmin; % Период

T2=T/2; % Полупериод

kmax=51; % число узловых (расчётных) точек 

% Линейка значений t:

t=linspace(tmin,tmax,kmax);

% Рисуем теоретический график функции

x(1:fix(kmax/2)+1)=-1-t(1:fix(kmax/2)+1);

x(fix(kmax/2)+1:kmax)=1-t(fix(kmax/2)+1:kmax);

figure(1);

% Рисуем график в 1-м окне

plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

hold on;

% Выводим обозначения осей

xlabel('t, s'); ylabel('x(t), mkT');

% Масштабируем оси

axis([tmin tmax min(x) max(x)]);

% Название графика:

title('Furie Approximation for x(t)=t/exp(t^2)');

% Выводим координатную сетку

grid on;

pause(1);

hold off;

% Рисуем сложение гармоник Фурье

% Нулевой член находим, интегрируя методом трапеций:

a0=trapz(t,x)/T;

xf(1:kmax)=a0;

%deltaFc=deltaFc';

% Цикл расчёта Амплитуд гармоник F(k)

for k=1:20

    a(k)=trapz(t,x.*cos(pi*k*t/T2))/T2;

    b(k)=trapz(t,x.*sin(pi*k*t/T2))/T2;

    xf=xf+a(k)*cos(pi*k/T2*t)+b(k)*sin(pi*k/T2*t);

    plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

    hold on;

    % Рисуем 2-ой график

    plot(t,xf,'.r','LineWidth',2);

    % Масштабируем оси

    axis([tmin tmax min(x) max(x)]);

    % Расчёт среднеквадратического отклонения:

    dx=sqrt(sum((x-xf).^2))/kmax;

    % Выводим координатную сетку

    grid on;

    % Название графика:

    title(strcat('Waves Sum for k=',num2str(k),'; dx=',num2str(dx)));

    hold off;

    pause(0.5);

    %if dd<epsilon

    % Выходим из цикла расчёта гармоник

    % если достигнута требуемая точность

    %    break;

    %end;

end;

hold on;

plot(t,xf,'k-','LineWidth',3);

hold off;


2.2. Аппроксимация кусочно линейной функции x(t) ортогональными полиномами Лежандра

Для функции примера 9б):

на интервале -1<t<+1 найдём коэффициенты разложения в ряд по полиномам Лежандра:

(1.7б)

Так, что получим график для аппроксимированной функции .

Текст программы для расчёта данной аппроксимации: 

% Программа расчёта коэф-тов ряда по полиномам Лежандра 

% Функции x(t)=-1-t,t<0; x(t)=1-t пример б)

clear all; clc; close all;

% Диапазон разложения

tmax=1;

tmin=-1; 

T=tmax-tmin; % Период

T2=T/2; % Полупериод

kmax=51; % число узловых (расчётных) точек 

% Линейка значений t:

t=linspace(tmin,tmax,kmax);

% Рисуем теоретический график функции

x(1:fix(kmax/2)+1)=-1-t(1:fix(kmax/2)+1);

x(fix(kmax/2)+1:kmax)=1-t(fix(kmax/2)+1:kmax);

figure(1);

% Рисуем график в 1-м окне

plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

hold on;

% Выводим обозначения осей

xlabel('t, s'); ylabel('x(t), mkT');

% Масштабируем оси

axis([tmin tmax min(x) max(x)]);

% Название графика:

title('Legendre Approximation for x(t)=t/exp(t^2)');

% Выводим координатную сетку

grid on;

pause(1);

hold off;

% Рисуем сложение полиномов Лежандра: 

% Нулевой член находим, интегрируя методом трапеций:

Lg(1,1:1)=[1];

c(1)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(1,1:1)),t))*(2*0+1)/2;

xLg(1:kmax)=c(1)*polyval(fliplr(Lg(1,1:1)),t);

Lg(2,1:2)=[0 1];

c(2)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(2,1:2)),t))*(2*1+1)/2;

xLg(1:kmax)=xLg(1:kmax)+c(2)*polyval(fliplr(Lg(2,1:2)),t);

% Цикл расчёта Амплитуд гармоник F(k)

for k=2:20

    Lg(k+1,2:k+1)=(2*(k-1)+1)/k*Lg(k,1:k);

    Lg(k+1,1:k+1)=Lg(k+1,1:k+1)-(k-1)/k*Lg(k-1,1:k+1);

c(k+1)=trapz(t,x.*polyval(fliplr(Lg(k+1,1:k+1)),t))*(2*k+1)/2;

    xLg=xLg+c(k+1)*polyval(fliplr(Lg(k+1,1:k+1)),t);

    plot(t,x,'b-','LineWidth',2);

    hold on;

    % Рисуем 2-ой график

    plot(t,xLg,'.r','LineWidth',2);

    % Масштабируем оси

    axis([tmin tmax min(xLg) max(xLg)]);

    % Расчёт среднеквадратического отклонения:

    dx=sqrt(sum((x-xLg).^2))/kmax;

    % Выводим координатную сетку

    grid on;

    % Название графика:

title(strcat('Waves Sum for k=',num2str(k),'; dx=',num2str(dx)));

    hold off;

    pause(0.5);

end;

hold on;

plot(t,xLg,'k-','LineWidth',3);

hold off;

Список литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, том 2. – М.: «Наука», 1985. – 560 с. 

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов.–М.: Высш. шк., 2002.–840с.


Содержание:


Заказать диплом


Правда про биржи студ. работ!


Помощь глазами студента New!


Что такое онлайн помощь?

Онлайн помощь по математике

Решение задач по математике
Советы тем кто собирается заказывать
В каких случаях студенты заказывают решение?
Польза или вред
Онлайн помощь на экзаменах
Решение теормеха
РГР по теормеху
Решение сопромата
Расчет по сопромату
Онлайн помощь бухучет
Решение статистики на заказ
Решение задач по экономике
Решение задач по эконометрике на заказ
Тесты по экономике
Заказать решение теормеха
Помощь онлайн сопромат
Решение физики
Пройти тест по бухучету
Нюансы онлайн помощи
Карта сайта

РЕШИТЬ-МАТЕМАТИКУ.РФ

Помощь на экзаменах по математике, срочное решение задач! КРУГЛОСУТОЧНАЯ консультация.