Решаем на заказ! функциональный анализ 4

С помощью тождеств

x=x⋅x ,

cos 5x =e5ix+e-5ix2

исходную функцию можно переписать в виде

Fx=x⋅x e5ix+e-5ix2=12⋅x⋅x e5ix+12⋅x⋅x e-5ix.

Преобразование Фурье функции F можно будет найти с помощью теорем о преобразовании Фурье, если найти преобразование Фурье функции x .

По определению, обобщённое преобразование Фурье действует на основные функции по правилу

x ,φ=x ,,

где 

y=12πRxe-ixydx.

Пусть 

-A,A,  A<∞.

Тогда

x ,=12πRy Rxe-ixydxdy=12πRy -AAxe-ixydxdy.

Вводя множитель сходимости, получаем:

12πRy -AAxe-ixydxdy=12πRe-εyy -AAxe-ixydxdy ==-AAx12πRy e-εy-ixydy dx.

Тогда внутренний интеграл сходится: 

Ry e-εy-ixydy=--∞0eεy-ixydy+0+∞e-εy-ixydy;

-∞0eεy-ixydy=eεy-ixyε-ix|y=-∞0=1ε-ix=-1i1x+iε,

0+∞e-εy-ixydy=-e-εy-ixyε+ix|y=0+∞=1ε+ix=1i1x-iε,

и

Ry e-εy-ixydy=1i1x+iε+1x-iε.

По формулам Сохоцкого-Племеля в пределе

1x±iε =P1x=∓iπδx.

Следовательно, 

Ry e-εy-ixydy =-2iP1x,

откуда 

x =12πRy e-εy-ixydy =-i2P1x.

Тогда, по теореме о дифференцировании Фурье-образа,

x=x ⋅x=iddxx =2ddxP1x=-2P1x2.

Отсюда, по теореме о сдвиге преобразования Фурье,

xe5ix=-2P1x-52,

xe-5ix=-2P1x+52,

откуда 

xcos 5x =xe5ix+xe-5ix2=-2P1x-52+P1x+52.

Окончательно,

F=-2P1x-52+P1x+52.