Функан. Пример 1.
Решите в D’ уравнение (x^4+X^2)F’=0
Сначала идет скрин Word, а дальше текстовая версия.
Пусть φ∈D. Тогда
x4+x2F',φ=x2F',x2+1=0.
При этом
x2+1x≡ψx∈D,
т.к. x2+1 – многочлен.
Обратно, если ψ∈D, то
x=xx2+1D,
т.к. многочлен x2+1 не имеет действительных корней. Значит,
x2+1x∈Dx∈D,
откуда
x2F',x2+1=0 ∀φx∈Dx2F',φ=0 ∀φx∈D.
Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
x2F'=0.
Условие
x2F',φ=0 ∀φ∈D,
равносильно условию
F',0=0, 0x2∈D.
Если
0=x2, ∈D,
то
00=0'0=0.
Обратно, если некоторая функция 0∈D удовлетворяет последнему условию, то в силу бесконечной дифференцируемости она имеет вид x2ψ, где ∈D.
Возьмём произвольную функцию φ∈D и сконструируем функцию
0x=x-0+'0xx,
где x - бесконечно гладкая срезка, т.е. η∈D и при некотором ε>0
x={1, x<ε, 0, x>2ε.
Тогда
0∈D, 00=0'0=0,
причём
0=F',0=F',-F',0-F','0xη,
откуда
F',=F',0+F',xη'0,
или
F',=C00-C1'0,
где обозначено
C0=F',, C1=-F',xη.
Учитывая, что
δ,φ=φ0, ',φ=-'0,
полученное равенство можно записать в виде
F',=C0δ,φ+C1',φ=C0δ+C1',φ.
Значит, исходному уравнению могут удовлетворять только такие функции FD', что
F'x=C0x+C1'x,
т.е. только функции вида
Fx=C0x+C1x, C0,1=const.
Обратно, непосредственная подстановка показывает, что любая такая функция действительно является решением исходного уравнения.
