Задача:Докажите, что σ (АБ){0}= σ (BA){0}.
Сначала идет скрин Word, а дальше текстовая версия.
Текстовая версия:
Пусть λ≠0 и оператор λI-AB имеет ограниченный обратный. Тогда ограничен оператор
L≡1I+1BλI-AB-1A.
Непосредственно проверяется, что он является обратным для оператора λI-BA. Действительно, имеет место равенство
λI-BAB=BλI-AB.
С его помощью получаем:
λI-BAL=1λI-BA+λI-BABλI-AB-1A=1λI-BA+BλI-ABλI-AB-1A==1λI-BA+BA=I.
Таким образом, при λ≠0 оператор λI-BA ограниченно обратим, если ограниченно обратим оператор λI-AB. Меняя местами операторы A и B, получаем, что верно и обратное. Таким образом, при λ≠0 оператор λI-BA ограниченно обратим тогда и только тогда, когда ограниченно обратим оператор λI-AB. Это означает, что у операторов AB и BA резольвентные множества, дополненные нулём, совпадают, т.е.
AB0=ρBA0.
Следовательно, совпадают и дополнения к этим множествам, т.е.
AB0=σBA0.
