функциональный анализ 5

Решаем на заказ! функциональный анализ 5

Заказать работу
Узнать стоимость

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ / ПЛОХИЕ советы

 
Пример 5. Докажите, что ... является бесконечно гладкой функцией.

Сначала идет  скрин Word, а дальше текстовая версия.
 
Решение (скрин): 


 



Обозначим


fx≡F+x=RFtt+xdt,  x∈R.

Докажем, что эта функция дифференцируема, причём

f'x=RFt'x+tdt.

По определению производной

fx+x-fxx=1xRFtt+x+xdt-RFtt+xdt==RFtt+x+xt+xxdt.

Составим разность

fx+x-fxx-RFt'x+tdt==RFtt+x+xt+xxdt-RFt'x+tdt==RFtt+x+xt+x-'xxxdt.

По теореме Лагранжа о конечном приращении

t+x+xt+x-'xxx2=12''t+x+θx,  0<θ<1,

откуда 

t+x+xt+x-'xxx=12''t+x+θxx,

где θ, вообще говоря, может зависеть от t и от x. 

Поскольку φ∈D, производные этой функции любых порядков ограничены. В частности,


''x≤M<∞.


Значит, 

t+x+xt+x-'xxx=12''t+x+θxxM2x.

По определению, если F∈D', то функционал F ограничен на D. В частности, 

найдётся такая константа CF, что

RFttdtCFt CF<∞.

Полагая здесь

t=t+x+xt+x-'xxx

получаем:

RFtt+x+xt+x-'xxxdtCFM2x≡Cx,

где 

C=CFM2<∞.

Следовательно, равномерно по x∈R

fx+x-fxx-RFt'x+tdt =0.

Это означает, что функция fx имеет ограниченную производную, которая получается дифференцированием под знаком интеграла:


f'x=RFt'x+tdt.


Поскольку


φ∈D⇒ '∈D,


по индукции отсюда получаем, что функция fx имеет конечные производные всех порядков, выражающиеся интегралами:


fnx=RFtnx+tdt.


Следовательно, функция fx является бесконечно гладкой.


Содержание:


Заказать диплом


Правда про биржи студ. работ!


Помощь глазами студента New!


Что такое онлайн помощь?

Онлайн помощь по математике

Решение задач по математике
Советы тем кто собирается заказывать
В каких случаях студенты заказывают решение?
Польза или вред
Онлайн помощь на экзаменах
Решение теормеха
РГР по теормеху
Решение сопромата
Расчет по сопромату
Онлайн помощь бухучет
Решение статистики на заказ
Решение задач по экономике
Решение задач по эконометрике на заказ
Тесты по экономике
Заказать решение теормеха
Помощь онлайн сопромат
Решение физики
Пройти тест по бухучету
Нюансы онлайн помощи
Карта сайта

РЕШИТЬ-МАТЕМАТИКУ.РФ

Помощь на экзаменах по математике, срочное решение задач! КРУГЛОСУТОЧНАЯ консультация.