Пример 5. Докажите, что ... является бесконечно гладкой функцией.
Сначала идет скрин Word, а дальше текстовая версия.
Обозначим
fx≡F+x=RFtt+xdt, x∈R.
Докажем, что эта функция дифференцируема, причём
f'x=RFt'x+tdt.
По определению производной
fx+x-fxx=1xRFtt+x+xdt-RFtt+xdt==RFtt+x+x-φt+xxdt.
Составим разность
fx+x-fxx-RFt'x+tdt==RFtt+x+x-φt+xxdt-RFt'x+tdt==RFtt+x+x-φt+x-'xxxdt.
По теореме Лагранжа о конечном приращении
t+x+x-φt+x-'xxx2=12''t+x+θx, 0<θ<1,
откуда
t+x+x-φt+x-'xxx=12''t+x+θxx,
где θ, вообще говоря, может зависеть от t и от x.
Поскольку φ∈D, производные этой функции любых порядков ограничены. В частности,
''x≤M<∞.
Значит,
t+x+x-φt+x-'xxx=12''t+x+θxxM2x.
По определению, если F∈D', то функционал F ограничен на D. В частности,
найдётся такая константа CF, что
RFttdtCFt , CF<∞.
Полагая здесь
t=t+x+x-φt+x-'xxx
получаем:
RFtt+x+x-φt+x-'xxxdtCFM2x≡Cx,
где
C=CFM2<∞.
Следовательно, равномерно по x∈R
fx+x-fxx-RFt'x+tdt =0.
Это означает, что функция fx имеет ограниченную производную, которая получается дифференцированием под знаком интеграла:
f'x=RFt'x+tdt.
Поскольку
φ∈D⇒ '∈D,
по индукции отсюда получаем, что функция fx имеет конечные производные всех порядков, выражающиеся интегралами:
fnx=RFtnx+tdt.
Следовательно, функция fx является бесконечно гладкой.
