ТАУ пример решения 1

Решаем на заказ! ТАУ пример решения 1

Заказать работу
Узнать стоимость

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ / ПЛОХИЕ советы

 


Таблица 1- Предаточные функции звеньев исходной системы







Таблица 2 – Показатели качества проектируемой САУ






 

  1. Структурная схема САУ

Передаточная функция параллельного соединения звеньев с рисунка 1: 

Рис. 1 – Параллельное соединение исходных звеньев

Будет иметь вид: 




или





Очевидно. что корни знаменателя этой дроби комплексно сопряжённые. 

Среди корней знаменателя два комплексно сопряжённых и один действительный отрицательный: 



Значит, в числителе присутствует форсирующее звено: 



Разделим числитель на 

и остаток деления представим, сокращая на коэффициент свободного члена, в виде: 

Таким образом, числитель можно представить в виде произведения двух передаточных функций: 




и коэффициента усиления составного звена 

Передаточная функция всего объекта: 


  1. Синтез последовательного корректирующего устройства
    на основании метода желаемой ЛАЧХ

    1. Асимптотическая частотная характеристика исходной САУ

Построим асимптотическую ЛАЧХ объекта управления L().

Для построения передаточную функцию САУ в разомкнутом состоянии представим в виде последовательно соединённых типовых звеньев.

Звено 1: колебательное, I I-го порядка, наклон -40дБ/дек после частоты среза

W1s=11s2+0.5s+1

Коэффициент передачи данного звена  K1=1.0:

20lg 1.0 =0.0

T1=1 с (коэффициент при квадрате s)

3=1T1=11=1.0 радс

Асимптотическая ЛАЧХ звена 1 в общем виде:

L1={20lg 1 ,                               <1 20lg 1 -40lg -40lg 1/T1 ,      1  

С учетом численных значений:

L1={20lg 1 =0,         <1 -40lg T1 ,         1

Звено 2: форсирующее II-го порядка, наклон +40дБ/дек

Wn2s=1.046684s2+0.9s+1

Коэффициент передачи данного звена  =1.0:

20lg 1 =0

T2=1.046684=1.0230761 с (коэффициент при квадрате s)

2=1T2=11.023076=0.97744451 радс

lg 0.9774445=-0.0099080 дек

Асимптотическая ЛАЧХ звена 2 в общем виде:

Ln2={20lg 1 ,                               ω≤2 20lg 1 +40lg -40lg 1/T2 ,      >2  

С учётом численных значений: 

Ln2={20lg 1 ,                                              ω≤0.9774445 20lg 1 +40lg 1.023076 ,   >0.9774445  

Звено 3: форсирующее I порядка, наклон +20дБ/дек

Wn1s=2.60563s+1

Коэффициент передачи данного звена равен составному коэффициенту передачи всего объекта: K12=11.0:

20lg K12 =20lg 11.0 =20.827854

3=1T1=12.60563=0.3837840.384 радс

Асимптотическая ЛАЧХ звена 3 в общем виде:

Ln1={20lg K12 ,     ω≤3 20lg K12 +20lg -20lg 1/T1 ,   >3  

С учётом численных значений:

Ln1={20lg 11.0=20.827854 ,            ω≤0.9774445 20lg 11.0 +20lg 2.60563 ,   >0.9774445  

Т.е., асимптотическая ЛАЧХ форсирующего звена имеет наклон +20 дБ/дек, начиная с частоты ω=0.9774445, и проходит на уровне 20lgK12=20lg(11) до этой частоты. 

При суммировании асимптотических ЛАЧХ представленных звеньев, получим характеристику всей системы Lнс() (см. рисунок 2).

Построение асимптотической ЛАЧХ начинаем с низкочастотного участка: т.к. в системе присутствует форсирующее звено, наклон этого участка составляет 0 дБ/дек. Низкочастотная зона имеет протяжённость (-∞, ω1], т.е. до первой частоты среза ω1=0.384 рад/сек.

Начиная с первой частоты среза ω1 = 0.384 рад/сек в среднечастотной зоне ЛАЧХ получает наклон +20 дБ/дек от форсирующего звена. Эта зона продолжается до второй частоты среза ω2 = 0.9774445 рад/сек. 

Начиная со второй частоты среза ω2 = 0.9774445 рад/сек в высокочастотной зоне ЛАЧХ наклон увеличивается до +60 дБ/дек из-за влияния второго форсирующего звена 2-го порядка. Однако, при третьей частоте среза ω3 = 1.0 рад/сек, находящейся в непосредственной близости от ω2, колебательное звено компенсирует этот прирост наклона и он возвращается к значению +20 дБ/дек.

Эта зона продолжается до в плюс-бесконечность [ω3, +∞). 















Рис. 2 – Асимптотические ЛАЧХ исходных звеньев и всего объекта


  1. Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ КУ

Построим желаемую АЛАЧХ скорректированной САР Lж(ω), состоящую из низкочастотной (НЧ), среднечастотной (СЧ) и высокочастотной (ВЧ) областей, которая обеспечивает заданные показатели качества переходных процессов и требуемую скоростную ошибку.

- допустимая статическая ошибка регулирования 

ε = 0

- допустимая скоростная ошибка регулирования 

ε = 0.002 с

- максимально допустимое время регулирования 

tp = 2.0 с;

- максимально допустимое перерегулирование 

σmax = 25%.

Наклон НЧ области желаемой ЛАЧХ принимаем равным -20дБ/дек (система астатическая, с 1-м порядком астатизма). 

Из номограмме (рис.3) для выбранного значения перерегулирования σ = 25% находим:

Рис.3. Номограммы

что максимальное значение вещественной частотной характеристики Pmax=1.17

При Pmax=1.17 время регулирования (Рис. 3) Tрег=4,0πс=2.0=tр

Определим желаемую частоту среза СЧ области:

с=4.0Tрег=4.0π2.0=6.28 радс

lg 6.28 =0.80 дек

Построение начинаем со среднечастотной (СЧ) области. 

Наклон СЧ области -20 дБ/дек.

Ординаты начала и конца СЧ зоны принимаем ΔL =+21 и ΔL =-21 дБ/дек.

Отсюда, находим частоты начала и конца СЧЗ: 

[lg(ωс) - lg(ωс1)]x20= ΔL => lg(ωс1)= lg(ωс) - ΔL/20=0.80–1.05 = -0.25 

[lg(ωс2) - lg(ωс)]x20= ΔL => lg(ωс2)= ΔL/20+ lg(ωс)=1.05+0.80 = 1.85 

ωс1 = 10-0.25= 0.562 рад/сек; 

ωс2 = 101.85= 70.8 рад/сек. 

Наклон низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ задаём с -20 дБ/дек, что бы обеспечить требуемый астатизм системы (1-го порядка). Так, что он автоматически сопрягается (см. рисунок 4) в точке ωс1=0.562 рад/сек, со среднечастотным участком при амплитуде LЖс1)=21, дБ.

Сам начальный (НЧ) участок рисуем до точки с минимальной отображаемой частотой ωmin = 0.1 рад/сек и ординатой LЖmin)= 37 дБ.

Высокочастотная область (не отображена на рисунке 4) имеет наклон –20 дБ/дек в целях простоты реализации последовательного корректирующего устройства (КУ). Она начинается от частоты ωс2 = 70.5 рад/сек до максимальной частоты графика ωmax = 100 рад/сек.

Уравнения, описывающие желаемую ЛАЧХ имеют вид: 
















Для расчёта в MathCAD использованы следующие обозначения: 

Ll  – ЛАЧХ области низких частот (Low frequencies);

Lm – ЛАЧХ области средних частот (medium frequencies);

Lh  – ЛАЧХ области высоких частот (high frequencies);

Lz  – желаемая ЛАЧХ, полученная сложением всех участков по всем частотам;

Lr – ЛАЧХ корректирующего устройства (регулятора).

ЛАЧХ корректирующего устройства (регулятора) определяем путём графического вычитания ординат ЛАЧХ объекта управления из ординат желаемой ЛАЧХ:

Lr=Lж-L

Рис.4. ЛАЧХ объекта, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ регулятора


  1. Передаточная функция КУ

По ЛАЧХ корректирующего устройства восстановим его передаточную функцию. 

Она состоит из 2-х последовательно соединённых типовых звеньев, а именно: 

Начальный наклон -20 дБ обеспечивает интегрирующее звено. 

Wr,1(s)=Krs

Последующую компенсацию форсирующего звена 1-го порядка, создающего возрастание ЛАЧХ объекта с наклоном +20 дБ начиная с частоты ω1=0.384 рад/сек, обеспечивает апериодическое звено. 

Таким образом, фактически осуществляется переход от наклона -20 дБ/дек к наклону -20 дБ/дек при 1-ой частоте сопряжения ω1=0.384 рад/сек. Откуда константа времени и передаточная функция апериодического звена в регуляторе: 

Тr,1=11=10.384=2.6316 с=> Wr,1(s)=1Тr,1s+1=12.6316∙s+1

Исходя из построений, на 1-ой частоте сопряжения (НЧ с  СЧ) желаемой ЛАЧХ ωс1=0.564 рад/сек, у ЛАЧХ регулятора должен появиться дополнительный наклон (до -40 дБ/дек), что может быть осуществлено апериодическим звеном: 

Тr,2=1с1=10.564=1.787 с=> Wr,2(s)=1Тr,2s+1=11.787∙s+1

для обеспечения точного соответствия желаемой ЛАЧХ, это должно быть апериодическое звено 2-го порядка. Однако, на практике, оказывается достаточно звена 1-го порядка для компенсации форсирующего звена объекта и охвата САУ отрицательной обратной связью. 

При частоте сопряжения ωс2 =70.5 рад/сек; для упрощения конструкции регулятора наклон ЛАЧХ не меняется и остаётся на уровне -20 дБ/дек. 

В общем виде передаточная функция КУ: 

Wrs=krs∙(Tr,1s+1)=11s∙(2.6316s+1)

где 20lgkr=Lж1-Lr1=20lg11.

Составим структурную схему синтезированной САР с учётом последовательного корректирующего устройства (КУ) (рис.5). 

Рис.5. Структурная схема САУ с корректирующим устройством (КУ)


  1. Передаточная функция скорректированной САР

Передаточная функция скорректированной разомкнутой САР:

Ws=WrsW12s=11s(2.6316∙s+1)112.6056s+11,0467s2+0.12164s+1s2+0.5s+1=

=1212.6056s+11,0467s2+0.12164s+1s(2.6316∙s+1)s2+0.5s+1=1130s3+15s2+30s+11s(2.6316∙s+1)s2+0.5s+1=

=1130s3+15s2+30s+112.6316s4+2.31586s3+3.1316s2+s=

Передаточная функция замкнутой САР:

Wzs=Ws1+Ws=1130s3+15s2+30s+112.6316s4+2.31586s3+3.1316s2+s1+1130s3+15s2+30s+112.6316s4+2.31586s3+3.1316s2+s=

=2.7273s3+1.3636s2+2.7273s+10.021749s4+2.7464s3+1.3895s2+2.7355s+1=

=1212.6056s+11,0467s2+0.12164s+148.980.0079504s+12.6055s+11.0499s2+0.1203s+1=>

Отсюда находим: 

1) аналитическое выражение для реакции на единичное ступенчатое воздействие: 

Lh(t)=Wzss=1s-0.99698s+125.78+0.0000493s+0.3838-0.0030624s+0.000393404s2+0.11623s+0.95248

где обратные преобразования Лапласа слагаемых: 

L-11s=1

L-10.99698s+125.78=0.99698e-125.78t

L-10.0000493s+0.3838=0.0000493∙e-0.3838t

L-10.0030624s+0.000393404s2+0.11623s+0.95248=

=-0.00309cos 0.974t -0.000192sin⁡(0.974t)e-0.0581t

Складывая полученные оригиналы дробей, получаем выражение для переходной характеристики: 

ht=1-0.99698∙e-125.78t+0.0000493∙e-0.3838t-

-0.00309cos 0.974t +0.000192∙sin⁡(0.974t)e-0.0581t

На рисунке 6 строим график переходной характеристики: 

Рис.6. Переходная характеристика замкнутой скорректированной САУ

2) аналитическое выражение для реакции на непрерывно нарастающий сигнал x(t)=t, Лапрасово изображение которого: 

Lx(t)=1s2

Ls(t)=Wzss2=1s2-0.00821s+0.0079264s+125.78-0.00012845s+0.3838+0.000413s-0.0030144s2+0.11623s+0.95248

где обратные преобразования Лапласа слагаемых: 

L-11s2=t

L-10.00821s=0.00821

L-10.0079264s+125.78=0.0079264∙e-125.78t

L-10.00012845s+0.3838=0.00012845∙e-0.3838t

L-10.000413s-0.0030144s2+0.11623s+0.95248=

=-0.00309cos 0.974t -0.000192∙sin⁡(0.974t)e-0.0581t

Складывая полученные оригиналы дробей, получаем выражение для реакции на нарастающий сигнал: 

st=t-0.00821+0.0079264∙e-125.78t-0.00012845∙e-0.3838t+

+0.000385cos 0.974t -0.00315sin⁡(0.974t)e-0.0581t

На рисунке 7 строим график этой реакции. 

А на рисунке 8 - график ошибки: e(t)=x(t) – s(t)= t – s(t)


Рис.7. Реакция замкнутой скорректированной САУ x(t)=t 

Рис.8. Ошибка замкнутой скорректированной САУ
при нарастающем входном воздействии

ВЫВОД:

В ходе настройки и подбора регулятора были получены фактические параметры регулирования, значительно лучше требуемых: 

Таблица 1. Параметры регулирования САУ

Параметр

Фактическое значение

Требуемое значение

допустимая статическая ошибка регулирования

ε = 0

ε = 0

допустимая скоростная ошибка регулирования

ε = 0.008 с

ε = 0.02 с

максимально допустимое время регулирования

tp = 0.025 с

tp = 2.0 с

максимально допустимое перерегулирование

σmax = 0%

σmax = 25%



  1. Анализ устойчивости замкнутой скорректированной САУ

Найдём все полюса замкнутой скорректированной САР по характеристическому уравнению: 

0.021749s4+2.7464s3+1.3895s2+2.7355s+1=0

или 48.980.0079504s+12.6055s+11.0499s2+0.1203s+1=0

или s+125.78s+0.3838s2+0.11623s+0.95248=0

Находим корни 

B1 = -125.78; 

B2 = -0.3838; 

B3 = -0.58110+j∙0.97422; 

B3 = -0.58110 - j∙0.97422; 

Все корни характеристического уравнения «левые», т.е., их действительные части отрицательные и находятся слева от мнимой оси на комплексной плоскости. Достаточное условие устойчивости выполнено. При этом, необходимое условие (положительность коэффициентов характерис-тического полинома) так же выполняется. 

Рис. 9. Полюса передаточной функции замкнутой САУ



Содержание:


Заказать диплом


Правда про биржи студ. работ!


Помощь глазами студента New!


Что такое онлайн помощь?

Онлайн помощь по математике

Решение задач по математике
Советы тем кто собирается заказывать
В каких случаях студенты заказывают решение?
Польза или вред
Онлайн помощь на экзаменах
Решение теормеха
РГР по теормеху
Решение сопромата
Расчет по сопромату
Онлайн помощь бухучет
Решение статистики на заказ
Решение задач по экономике
Решение задач по эконометрике на заказ
Тесты по экономике
Заказать решение теормеха
Помощь онлайн сопромат
Решение физики
Пройти тест по бухучету
Нюансы онлайн помощи
Карта сайта

РЕШИТЬ-МАТЕМАТИКУ.РФ

Помощь на экзаменах по математике, срочное решение задач! КРУГЛОСУТОЧНАЯ консультация.